Mandelbrot Set e Fractais

Há pouco acabei de ver um documentário que me prendeu a atenção de uma forma bastante intensa…

Tratava-se de um programa de carácter científico que abordava o tema da geometria fractal e dos conjuntos de Mandelbrot.

Já há uns tempos abordei este assunto de uma forma meio empírica, num post que falava das relações entre o grande e o pequeno, e de como, pela análise e medição dos sistemas e conjuntos à escala humana, se poderiam fazer medições precisas de todos os restantes sistemas, fossem de que tamanho e escala fossem.

Não vou falar muito sobre este assunto, até porque considero-me apenas um ‘curioso’ destas novas matemáticas Mandelbrotianas ou do Caos, como lhe queiram chamar, e que de Euclidianas pouco ou nada têm. Para além disso, trata-se de um tema que tem o paradoxo de ser extremamente complexo, apesar de se basear em simples equações matemáticas e na sua auto-replicação, criando os magníficos gráficos que produzem as imagens de fractais.

Aparentemente, Mandelbrot não fez mais nada do que olhar para onde todos nós olhamos e constatar, na similaridade de tudo o que nos rodeia, e no que diz respeito à sua construção, a matemática necessária à explicação dos sistemas anteriormente designados por caóticos, onde a matemática Euclidiana, da geometria rígida, não conseguia 'penetrar'.

E estes sistemas, as ‘coisas’ que nos rodeiam, em si, contêm elas próprias auto-similaridades na sua construção…em tudo e todos existe uma geometria fractal.

Se cada um de nós analisarmos os sistemas de estudo em que trabalhamos, poderemos observar rapidamente as tais auto-similaridades e as tais auto-replicações.

(vejam o filme, com som, integrado neste post para perceberem talvez um pouco melhor, esta coisa de auto isto e auto aquilo. Dica: Façam 'pause' no filme da barra lateral para não misturarem os sons.)

Apesar de parecer uma ciência que não aparenta nenhuma utilidade prática, a verdade é que, actualmente, já existe tecnologia baseada na geometria fractal… e essa tecnologia está constantemente perto na nossa orelha ou nos nossos colos. Falo dos telemóveis de última geração e dos computadores portáteis actuais que utilizam tecnologias sem fios para comunicações…

Uma das coisas giras que se descobriu foi que uma única antena com configuração fractal conseguia captar os diversos tipos de frequências e bandas qualquer que fosse o seu tamanho, devido exactamente à forma 'infinita' da construção da mesma.

Não sei se o exemplo é muito correcto, mas conhecem a justificação mais plausível para a forma do nosso cérebro?

As rugosidades existentes na superficie deste órgão aumentam essa mesma superficie criando uma maior área no mesmo espaço...será uma quarta dimensão que esta nova matemática veio introduzir: - a rugosidade. Era ponto acente que no mundo observável existiam 3 dimensões normalmente definidas pelos eixos X, Y e Z - comprimento, largura e altura. Um dos valores estabelecia uma dimensão, a linha, a conjunção de dois duas dimensões, o plano, e os três a 3ª dimensão que é o volume...mas isso era ponto acente de uma perspectiva Euclidiana.

E agora que falo nisto, começa-me o pensamento a borbulhar com a ideia se não será isso que acontece em todo o universo, o que poderá realmente permitir a existência de wormholes, e explicar os cálculos que demonstram que a massa existente no universo é muito maior do que aquela que este aparenta ter e que é observável através das interacções que esta tem com o espectro electromágnetico ... será que a dark matter se encontra numa 4ª dimensão da matemática Mandelbrotiana?...mas quem sou eu para especular sobre isto??

Ora bem...sendo assim, uma antena com uma configuração fractal poderá, teoricamente, ocupar um espaço infinito e ter uma orientação infinita.

Utilizando essa premissa, actualmente já é possível integrar através de uma única minúscula antena os diversos gadjets sem fios que os nossos aparelhos possuem, desde o BlueThooth ao Wireless, passando como é obvio pelas emissões de microondas dos sistemas de comunicações móveis, evitando assim que andassemos com telemoveis do tamanho de radiotelescópios...ok, é um exagero, mas percebem a ideia não percebem?

Algumas das formas de antenas vistas em telemóveis tem a configuração de uma das faces da Esponja de Menger (um cubo de superficie infinita), mas é fácil encontrar configurações com a forma da curva de Koch (uma linha fechada, mas infinita)

(Esponja de Menger, imagem de cima e floco de neve de Koch imagem de baixo)

Aliás, a curva de Koch ou o floco de neve de Koch pode ser facilmente percepcionada numa costa marítima, ou então num floco de neve observado ao microscópio.

De referir que Mandelbrot, não descobriu os fractais, estes já tinham sido observados muito anteriormente e eram muitas vezes apelidados de ‘monstros’ matemáticos, exactamente por não serem passíveis de ser explicados pelas matemáticas de base Euclidiana, em parte porque para se chegar à raíz do problema eram exigidos biliões de cálculos sucessivos...e niguém tinha tempo e cabeça para isso.

O que Mandelbrot fez, foi tornar possível a visualização matemática desses ‘monstros’, pela primeira vez, graças a computação informática (trabalhava nos anos 70 do século passado na IBM) que proporcionou os milhões de cálculos sucessivos necessários para a representação gráfica da geometria das auto-replicações matemáticas. Foi através dos seus conjuntos, que Mandelbrot esboçou o inicio de uma nova era nas matemáticas, que certamente irá levar a que os sistemas meteorológicos sejam explicados da mesma maneira que um rio ou um sistema económico qualquer…porque na sua essência, tudo se constrói da mesma maneira, auto-replicando-se de uma forma similar. Talvez quem sabe não se encontrará aqui a relação entre as Físicas Quânticas e as Leis da Atracção Gravítica que tantas dores de cabeça dava a Einstein?

Bom, fiquemos por aqui esperando que vos tenha aguçado a curiosidade de olharem para um feto qualquer e observarem um fractal…ou olharem para uma árvore e verem a similaridade com um coral e este com o nosso sistema circulatório, ou a representação gráfica do batimento cardíaco numa folha de um electrocardiograma e o perfil de uma cordilheira montanhosa…

Tudo é, e era óbvio, todos nós já o observamos, mas nunca percebemos as correlações que existiam entre as diversas coisas, como agora.

Refiro somente, e mais uma vez, que apenas sou um curioso na matéria, e como será óbvio a leitura deste texto vale o que vale. Se querem ter mais informações, garantindo a idoniedade das mesmas, deverão consultar literatura especializada...